Question

设f（x）=ax+b，且

∫

1 -1

[f（x）]²dx=1，求f（a）的取值范围．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：先根据定积分求出a与b的关系，再根据函数的单调性求函数值得值域．

解答： 解：∵f（x）=ax+b，且

∫

1 -1

[f（x）]²dx=1，
∴

∫

1 -1

（a²x²+2abx+b²）dx=（

1

3

a²x³+abx²+b²x）|

1 -1

=（

1

3

a²+ab+b²）-（-

1

3

a²+ab-b²）=

2

3

a²+2b²=1，
∴a²=

3

2

-3b²，且

3

2

-3b²≥0，即-

2

2

≤b≤

2

2

，
∴f（a）=a²+b=

3

2

-3b²+b=-3（b-

1

2

）²+

9

4

，
∴函数f（b）在[-

2

2

，

1

2

）上单调递增，在[

1

2

，

2

2

]上单调递减，
∴f（b）的最大值为f（

1

2

）=

9

4

，f（b）的最小值为f（-

2

2

）=-

2

2

，
∴f（a）的取值范围为[-

2

2

，

9

4

]．

点评：本题考查了定积分的计算以及二次函数的图象和性质，属于中档题．