Question

已知O是△ABC所在平面内一点，且|

OC

|²+|

AB

|²=|

OB

|²+|

.

AC

|²=|

OA

|²+|

BC

|²，则O是△ABC的（　　）

• A、内心
• B、垂心
• C、外心
• D、重心

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据向量的减法分别用

OA

，

OB

，

OC

表示

BC

，

CA

，

AB

利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OA⊥BC，同理可得OB⊥AC，OC⊥AB，即证出O是△ABC的垂心．

解答： 解：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，则

BC

=

c

-

a

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

-

a

．
由|

OC

|²+|

AB

|²=|

OB

|²+|

.

AC

|²=|

OA

|²+|

BC

|²，
∴|

c

|²+|

b

-

a

|²=|

b

|²+|

c

-

a

|²，化简可得

a

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

c

）•

a

=0，
∴

OA

•

BC

=0∴

BC

⊥

OA

，即OA⊥BC．
同理可得OB⊥AC，OC⊥AB．
∴O是△ABC的垂心．
故选B．

点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．