Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，1），

b

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-2x）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,余弦函数的图象

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=sin(x+

π

6

)+

1

2

．再利用正弦函数的周期性与单调性即可得出．
（2）利用诱导公式、倍角公式即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1+cosx

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=2π． 
令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

（k∈Z）．
函数y=f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）由f（x）=sin(x+

π

6

)+

1

2

=1，
可得sin(x+

π

6

)=

1

2

，
∴cos（

2π

3

-2x）=2cos2(

π

3

-x)-1=2sin2(x+

π

6

)-1=-

1

2

．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性与单调性、诱导公式、倍角公式，考查了计算能力，属于中档题．