Question

在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；
（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A-FD-G的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得SA⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥平面SAC，由此能证明AB⊥SC．
（Ⅱ）取BD中点H，AB中点M，连结AH，DM，GF，FM，由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，从而平面FMD∥平面SBC，由此能证明FG∥平面SBC．
（Ⅲ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面FDG的法向量和平面AFD的法向量，利用向量法能求出二面角A-FD-G的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS?平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG?平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（

2

3

，

2

3

，0），F（0，0，1），

FD

=（0，2，-1），

FG

=（

2

3

，

2

3

，-1），
设平面FDG的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FD =2y-z=0 n • FG = 2 3 x+ 2 3 y-z=0

，取y=1，得

n

=（2，1，2），
又平面AFD的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴二面角A-FD-G的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．