Question

18．（1）已知函数y=lg（x²+2x+a）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）已知函数y=lg（x²+2x+a）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，对数函数的真数要大于0，即x²+2x+a＞0，定义域为R，△＜0求解a的取值范围．
（2）y=lg（x²+2x+a）的值域为R，即x不管取任何数，x²+2x+a的值域都包含（0，+∞）．从而求解a的取值范围．

解答 解：（1）函数y=lg（x²+2x+a）的定义域为R，即x²+2x+a＞0，定义域为R，△=b²-4ac＜0，
即：4-4a＜0，解得：a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）．
（2）函数y=lg（x²+2x+a）的值域为R，即x不管取任何数，x²+2x+a的值域都包含（0，+∞）．
令u=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的值域为[a-1，∞），
那么：（0，+∞）⊆[a-1，∞），即：a-1≤0，解得a≤1．
故实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了对数函数的恒成立问题．属于中档题．