Question

8．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₁₆=2016．

Answer 1

分析 由题意可得有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，从而可得f（x+1）=f（x）+1；从而利用迭代法求值即可．

解答 解：∵f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2；
∴f（x+1）+2≤f（x）≤f（x）+3，
∴f（x+1）≤f（x）+1，
∵f（x+1）+1≥f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（x+1）≥f（x）+1，
∴f（x+1）=f（x）+1；
∴f（2016）=f（1）+2015=2016，
故答案为：2016．

点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，同时考查了迭代法的应用．