Question

18．定积分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{2-{x}^{2}}$-x）dx的值为$\frac{π}{2}$-1．

Answer 1

分析 定积分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示表示以原点为圆心以$\sqrt{2}$为半径的圆的面积的四分之一，根据分步积分法即可求出答案．

解答 解：定积分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示表示以原点为圆心以$\sqrt{2}$为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$×2=$\frac{π}{2}$，
${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{\sqrt{2}}$=1，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{2-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π}{2}$-1，
故答案为：$\frac{π}{2}$-1，

点评 本题考查定积分的几何意义以及定积分的计算，属基础题