Question

16．若△ABC面积为1，则$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的运算得出$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4-2cosA}{sinA}$=$\frac{-2（cosA-2）}{sinA-0}$根据几何意义得出：半圆上的出点（cosA，sinA），与点（2，0）连线的斜率t=$\frac{sinA-0}{cosA-2}$，0＜A＜π，
再根据直线与圆的位置关系求解即可．

解答 解：∵△ABC面积为1，
∴$\frac{1}{2}×$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|sinA=1，
即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{2}{sinA}$，
∵$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$≥2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|-|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=2×$\frac{2}{sinA}$-$\frac{2}{sinA}$×cosA，
∴$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4-2cosA}{sinA}$=$\frac{-2（cosA-2）}{sinA-0}$
∵t=$\frac{sinA-0}{cosA-2}$，0＜A＜π，
∴根据几何意义得出：半圆上的出点（cosA，sinA），与点（2，0）连线的斜率的范围：t∈[$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），

$\frac{1}{t}$$≤-\sqrt{3}$，
$-\frac{2}{t}$$≥2\sqrt{3}$
故答案为；2$\sqrt{3}$

点评 本题综合考察了向量的运算，三角函数，圆与直线的位置关系，数形结合的思想，属于综合题目，难度较大．