Question

7．已知f（x）=x²+px+q，且p²+1≤4q+2p成立，设方程f（x）=x的实数解集为P，方程f（f（x））=x的实数解集为Q，则（　　）

• A． P=Q
• B． P?Q
• C． Q?P
• D． P?Q，Q?P

Answer 1

分析 化简f（f（x））=x可得（x²+（p-1）x+q）（x²+（p+1）x+q+p+1）=0，从而确定P，Q间的关系．

解答 解：f（x）-x=x²+（p-1）x+q=0，
故△=（p-1）²-4q，
∵p²+1≤4q+2p，
∴△=（p-1）²-4q≤0，
∵f（f（x））=x，
∴（x²+px+q）²+p（x²+px+q）+q-x=0，
即（x²+（p-1）x+q）²+2x（x²+px+q）-x²+p（x²+px+q）+q-x=0，
即（x²+（p-1）x+q）²+2x（x²+（p-1）x+q）+x²+p（x²+（p-1）x+q）+px+q-x=0，
即（x²+（p-1）x+q）²+2x（x²+（p-1）x+q）+p（x²+（p-1）x+q）+x²+（p-1）x+q=0，
即（x²+（p-1）x+q）（（x²+（p-1）x+q）+2x+p+1）=0，
即（x²+（p-1）x+q）（x²+（p+1）x+q+p+1）=0，
△=（p+1）²-4（q+p+1）=p²+2p+1-4q-4p-4
=p²+1-2p-4q-4＜0，
故x²+（p+1）x+q+p+1=0无解，
故化为方程x²+（p-1）x+q=0的解，
故P=Q，
故选A．

点评 本题考查了复合函数的应用及学生的化简运算能力，属于中档题．