Question

14．若关于x的方程cos²x-sinx+a=0有解，则a的取值范围是[$-\frac{5}{4}$，1]．

Answer 1

分析 若方程cos²x-sinx+a=0有实数解，实数a应该属于函数y=-cos²x+sinx的值域，结合三角函数基本关系式，再结合二次函数在定区间上的值域求法，易得函数y=-cos²x+sinx的值域，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：cos²x-sinx+a=0，
可得：a=-cos²x+sinx
∵-cos²x+sinx
=-1+sin²x+sinx
=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$
又∵-1≤sinx≤1
∴-$\frac{5}{4}$≤（sinx+$\frac{1}{2}$）²$-\frac{5}{4}$≤1
∴-$\frac{5}{4}$≤-cos²x+sinx≤1，
关于x的方程cos²x-sinx+a=0有解，则a的取值范围是：[$-\frac{5}{4}$，1]．
故答案为：[$-\frac{5}{4}$，1]．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，方程f（x）=a有实数解，即a属于函数y=f（x）的值域，然后将方程有实根的问题，转化为求函数值域的问题．