Question

【题目】如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，点P为CC1的中点．
（1）求证：A1C⊥平面ABP；
（2）求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

∵AB平面ABC，∴AA1⊥AB，

∵AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，点P为CC1的中点，

∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，

又AA1∩AC=A，∴AB⊥A1C，

在矩形ACC1A1中，A1C= =3，AP= = ，

在Rt△A1CA中，sin∠A1CA= = ，

在Rt△PAC中，cos = ，

∴sin∠A1CA=cos∠PAC，∴∠PAC+∠A1CA=90°，

∴A1C⊥AP，

∵AP∩AB=A，∴A1C⊥平面ABP

（2）解：由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），P（0， ， ），

=（1，0，0）， ，

设平面A1B1P的法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令y=1，得 =（0，1， ），

由（1）知平面ABP的一个法向量为 =（0，﹣ ， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴sin＜ ＞= = ．

即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为 ．

【解析】（1）推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥A1C，再推导出A1C⊥AP，由此能证明A1C⊥平面ABP．（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．