Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，an+1= 若S3n≤λ3n﹣1恒成立，则实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[14，+∞）
【解析】解：∵a1=1，an+1= ， 可得：a3n﹣1=a3n﹣2+3，a3n=a3n﹣1+3，可得a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=3a3n﹣2+9．
a3n+1=a3n=a3n﹣1+3=a3n﹣2+6，又a1=1，
∴a3n﹣2=1+6（n﹣1）=6n﹣5．
∴S3n=（a1+a2+a3）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）
=3（a1+a4+…+a3n﹣2）+9n
=3× +9n
=9n2+3n．
S3n≤λ3n﹣1 ， 即9n2+3n≤λ3n﹣1 ， ∴λ≥ ．
设 =cn ， 则cn+1﹣cn= ﹣ = ．
当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，即c1＜c2；
当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，可得：c2＞c3＞c4＞…＞cn ．
因此（cn）max=c2=14．
∴λ≥14．
所以答案是：[14，+∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．