Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界、若函数f（x）=1+a•(

1

2

)^x+(

1

4

)^x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-5，0]
• B、[-4，1]
• C、[-4，0]
• D、[-5，1]

Answer 1

分析：遇到求参数的取值范围问题，我们往往采用参数分离法进行求解，恒成立问题转化成研究最值问题，即[h（x）]_max≤a≤[p（x）]_min

解答：解：由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即
-3≤f（x）≤3，
∴-4-(

1

4

)^x≤a(

1

2

)^x≤2-(

1

4

)^x，
∴-4•2^x-(

1

2

)^x≤a≤2•2^x-(

1

2

)^x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2^x-(

1

2

)^x]_max≤a≤[2•2^x-(

1

2

)^x]_min，
设2^x=t，则h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞），得t≥1，
易知：h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
所以h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴实数a的取值范围为[-5，1]．
故选D

点评：本题考查了恒成立问题，函数最值问题，换元转化成二次函数的思想．