Question

5．已知定义在R上的奇函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+n}}{{{2^{x+1}}+m}}$．
（1）求实数m、n的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出m的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴$\frac{-1+n}{2+m}$=0，∴n=1．
由f（-x）=-f（x），得$\frac{{-2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+m}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x+1}+m}$，
∴2+m•2^x=m+2^x+1，
即m=2．
（2）函数f（x）在R上是减函数．
证明：由（1）知f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x+1}}$．
设任意x₁∈R，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{1}{{2x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{2x}_{1}+1}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（{2x}_{1}+1）（{2x}_{2}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x₁＜2x₂，2^x2+1＞0，2^x1+1＞0，2^x1-2^x2＜0，
∴△y＜0，∴f（x）在R上是减函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题，是一道基础题．