Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（1）证明：B﹣A= ；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由a=btanA和正弦定理可得 = = ，

∴sinB=cosA，即sinB=sin（ +A）

又B为钝角，∴ +A∈（ ，π），

∴B= +A，∴B﹣A= ；

（2）解：由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，

∴A∈（0， ），∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，

∵A∈（0， ），∴0＜sinA＜ ，

∴由二次函数可知 ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤

∴sinA+sinC的取值范围为（ ， ]

【解析】（1）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（2）由题意可得A∈（0， ），可得0＜sinA＜ ，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，由二次函数区间的最值可得．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义，需要了解正弦定理:才能得出正确答案．