Question

12．已知函数f（x）=2cos（x+$\frac{5π}{12}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为$f（x）=sin（2x+\frac{2π}{3}）$，利用正弦函数的单调性即可解得f（x）的递增区间．
（2）由$f（C）=sin（2C+\frac{2π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$2C+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，可得C的值，由题意可得sinB-2sinA=0，由正弦定理得b=2a，分别由余弦定理，勾股定理即可解得a，b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=2cos（x+\frac{5π}{12}）sin（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$
=2cos（x+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$
=-2[sin（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{3}$]sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
∴2k$π-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{2π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得解得：k$π-\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为$[{kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}}]$，k∈Z．
（2）∵$f（C）=sin（2C+\frac{2π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$2C+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，解得$C=\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$．
∵$\overrightarrow m=（1，sinA）$与$\overrightarrow n=（2，sinB）$共线，
∴sinB-2sinA=0，
∴由正弦定理可得$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$，即b=2a，①
当$C=\frac{π}{3}$时，
∵C=3，∴由余弦定理可得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，②
联立①②解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
当$C=\frac{π}{2}$时，
∵c=3，∴由勾股定理可得9=a²+b²，③
联立①③可得$a=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，$b=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
综上$a=\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}$，或$a=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，$b=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，勾股定理，平面向量共线的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．