Question

1．设D是△ABC的边BC上一点，且$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，若AB：AD：AC=3：k：1，则k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• B． （1，4）
• C． （$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{3}$）
• D． （5，7）

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，两边平方后利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则化简，利用余弦函数的值域求出k²的范围，即可确定出k的范围．

解答 解：如图所示
∵D是△ABC的边BC上一点，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
两边平方得：${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cosθ，θ∈（0，π），
即k²=$\frac{4}{9}$×9+$\frac{1}{9}$×1+$\frac{12}{9}$cosθ=$\frac{37}{9}$+$\frac{12}{9}$cosθ∈（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{9}$），
又k＞0，
∴k的取值范围是（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查了余弦定理，向量共线表示和三角形的应用问题，是综合性题目．