Question

16．已知tanθ=2，且θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），则sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式即可求出．

解答 解：∵tanθ=2，且θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
∴$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=2，
∴sinθ=2cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
∴$\frac{θ}{2}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin²$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
∴sin$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$=$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}$

点评 本题考查了同角三角函数的关系和二倍角公式，培养学生的元素能力，属于基础题．