Question

14．已知sin（3π+α）=lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$，求$\frac{cos（π+α）}{cosα[cos（π-α）-1]}$+$\frac{cos（α-2π）}{cosαcos（π-α）+cos（-α）}$的值．

Answer 1

分析 先化简已知：利用诱导公式sin（π+α）=-sinα化简等式左边，然后利用对数定义lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$=lg10${\;}^{-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$得到sinα的值；再化简原式：利用cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=cosα，cos（2π-α）=cosα及同角三角函数间的基本关系进行化简，将sinα的值代入即可求出．

解答 解：∵由于sin（3π+α）=-sinα，lg$\frac{1}{\root{3}{10}}$=lg10${\;}^{-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$，得sinα=$\frac{1}{3}$，
∴原式=$\frac{-cosα}{cosα（-cosα-1）}$+$\frac{cosα}{-co{s}^{2}α+cosα}$=$\frac{1}{1+cosα}$+$\frac{1}{1-cosα}$=$\frac{2}{sin2α}$=18．

点评 本题主要考查学生灵活运用诱导公式进行化简求值，会根据对数的定义求对数的值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，属于中档题．