Question

4．已知f（x）=x³-2x²-4x，若对任意x₁，x₂∈[-1，3]均有|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{2m}{27}$-2，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意，只要求出f（x）=x³-2x²-4x在[-1，3]最值，使$\frac{2m}{27}$-2大于|f（x₁）-f（x₂）|_max，然后求m 的范围．

解答 解：f'（x）=3x²-4x-4=（x-2）（3x+2），所以f（x）在（-1，$-\frac{2}{3}$）递增，在（$-\frac{2}{3}$，2）递减，（2，3）递增，
并且f（-1）=1，f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{40}{27}$，f（2）=-8，f（3）=-3，
所以f（x）=x³-2x²-4x在[-1，3]最大值是$\frac{40}{27}$，最小值是-8，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=$\frac{256}{27}$，所以只要$\frac{2m}{27}$-2＞$\frac{256}{27}$，解得m＞155；
所以m＞155．

点评 本题考查了函数的单调性和最值的关系以及恒成立问题，属于中档题．