Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（2，2，1），$\overrightarrow b=（{4，5，3}）$，而$\overrightarrow n•\overrightarrow a=\overrightarrow n•\overrightarrow b=0$，且$|{\overrightarrow n}$|=1，则$\overrightarrow n$=（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）
• D． ±（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意，设出$\overline{n}$=（x，y，z），列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y+z=0①}\\{4x+5y+3z=0②}\\{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}=1③}\end{array}\right.$，求出方程组的解即可．

解答 解：设$\overline{n}$=（x，y，z），
又$\overrightarrow n•\overrightarrow a=\overrightarrow n•\overrightarrow b=0$，且$|{\overrightarrow n}$|=1，
列方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y+z=0①}\\{4x+5y+3z=0②}\\{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}=1③}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\\{z=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\\{z=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
即$\overrightarrow n$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．