Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}}$（0＜x＜1），则f（x）的值域为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用导数判断函数的单调性，即可求出函数的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}}$（0＜x＜1），
∴f′（x）=$\frac{\sqrt{2x+1}+\frac{1}{2}（x+1）•（2x+1）^{-\frac{1}{2}}}{2x+1}$＞0在0＜x＜1恒成立，
∴函数f（x）=$\frac{x+1}{\sqrt{2x+1}}$在（0，1）上单调递增，
∵f（0）=1，f（1）=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴f（x）的值域为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故答案为：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了函数的值域的问题，采用导数和函数函数的单调性，属于基础题．