Question

19．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，则数列{a_n²}的前n项和T_n=（　　）

• A． （2ⁿ-1）²
• B． 4ⁿ-1
• C． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• D． $\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$

Answer 1

分析 等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，可得：a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²-1=3，解得a₂．利用等比数列的通项公式可得a_n．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，∴a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²-1=3，解得a₂=2．
∴公比q=2．
∴a_n=2^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4^n-1，
则数列{a_n²}为等比数列，首项为1，公比为4．
其前n项和T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．