Question

设函数f（x）=x³-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（ ）
A．x₁＞-1
B．x₂＜0
C．x₂＞0
D．x₃＞2

Answer 1

【答案】分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
解答：解：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0可得 x=．
∵当x＜-时，f′（x）＞0；在（-，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（∞，-）上是增函数，在（-，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．
故f（-）是极大值，f（）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜-，-＜x₂＜，x₃＞．
根据f（0）=a＞0，且f（）=a-＜0，可得 ＞x₂＞0．
故选C．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．