Question

13．在四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，点M在线段AG₄上，且AM：MG₄=2：1，求证：向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，证明G₁M∥平面BCD，G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD即可得出G₁M、G₁G₂、G₁G₃三线共面，
从而得出向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

解答 证明：如图所示，
四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，
延长AG₁交BC于点E，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{2}{1}$；
又AM：MG₄=2：1，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{AM}{{MG}_{4}}$，
∴G₁M∥EG₄；
又G₁M?平面BCD，EG₄?平面BCD，
∴G₁M∥平面BCD；
同理G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD，
且G₁M∩G₁G₂=G₁，G₁M∩G₁G₃=G₁，
∴G₁M、G₁G₂、G₁G₃三线共面，
即向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．

点评 本题考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了证明空间向量的共面问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题目．