Question

如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则

S四边形BCED

S△ABC

的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：常规题型,高考数学专题

分析：由∠BAC=60°想到三角形面积公式S=

1

2

acsinB，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．

解答： 解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），
由余弦定理得DE²=x²+y²-2xycos60°，即4=x²+y²-xy，
从而4≥2xy-xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．
所以

S四边形BCED

S△ABC

=1-

S△ADE

S△ABC

=1-

1 2 xysin60°

1 2 ×3×4sin60°

=1-

xy

12

≥1-

4

12

=

2

3

，
即

S四边形BCED

S△ABC

的最小值为

2

3

．
故答案为

2

3

．

点评：本题是重要不等式“x²+y²≥2xy”的一个应用，涉及余弦定理和三角形面积公式，综合性较强，考查学生对知识的迁移能力．