Question

4．点P（-3，1）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左准线上．过点P的直线l：5x+2y=13，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由点P（-3，1）则椭圆的左准线x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上，即$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，由题意可知：过点P且与直线5x+2y=0平行的光线的方程为5x+2y+13=0上，将焦点坐标代入即可求得c和a的值，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦点在x轴上，椭圆的左准线方程为：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，点P（-3，1）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左准线上．
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，
∵点P且与直线5x+2y=13平行的光线经直线y=-2反射后通过椭圆左焦点，
过点P且与直线5x+2y=0平行的光线的方程为5x+2y+13=0上，
∴5×（-c）+2×（-4）+12=0，解得：c=1，
∴a²=3，解得：a=$\sqrt{3}$，
故椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆标准方程及简单几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．