Question

19．已知命题$p：?x∈R，sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cos（{\frac{2π}{3}-x}）cosx＜\frac{m}{2}$；命题q：函数f（x）=x²-mx+3在（-1，1）上仅有1个零点．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，（1）由（￢p）∧q为真命题，得到p假q真，求出m的范围即可；（2）由p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假； 求出m的范围即可．

解答 解：依题意，$sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cos（{\frac{2π}{3}-x}）cosx=sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cosxsin（{x-\frac{π}{6}}）=sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，解得m＞1；
对于函数f（x）=x²-mx+3，若△=0，则函数f（x）的零点不在（-1，1）上，
故只需f（-1）f（1）＜0，解得m＜-4或m＞4，
（显然x=-1或1时，f（x）=x²-mx+3≠0，否则在区间（-1，1）上无零点）．
（1）若（?p）∧q为真，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m≤1\\ m＜-4或m＞4\end{array}\right.$，
故m＜-4，即实数m的取值范围为 （-∞，-4）．
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假； 
若p真q假，则实数m满足$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\-4≤m≤4\end{array}\right.$，即1＜m≤4；
若p假q真，由（1）知，故m＜-4，
综上所述，实数m的取值范围为（-∞，-4）∪（1，4]．

点评 本题考查了三角不等式以及二次函数的性质，考查符合命题的判断，是一道中档题．