Question

14．已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，则k=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 斜率k存在，设直线AB为y=k（x-2），代入抛物线方程，利用（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=0，即可求出k的值．

解答 解：由抛物线C：y²=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x-2），
代入抛物线方程，得到k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16
又$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
∴（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=$\frac{16}{{k}^{2}}$-$\frac{16}{k}$+4=0
∴k=2．
故选D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．