Question

4．设函数f（x）=|x-a|-2|x-1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）-|2x-5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x-a|≤3，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x-3|-|2x-2|≥1
x$≤1\$时，3-x+2x-2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3-x-2x+2≥1，∴x≤$\frac{4}{3}$，∴1＜x≤$\frac{4}{3}$；
x≥3时，x-3-2x+2≥1，∴x≤-2∴1＜x≤$\frac{4}{3}$，无解，…（4分）
所以f（x）≥1解集为[0，$\frac{4}{3}$]．…（5分）
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）-|2x-5|≤0可化为|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，…（8分）
∴-1≤a≤4．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．