Question

16．已知函数f（x）=x³-ax²+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x-y-4=0．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过计算f（2），f′（2）的值，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解费用导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出f（x）在[-1，3]的最大值即可．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2ax．…（2分）
由已知有$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=4}\\{f′（2）=4}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{8-4a+b=4}\\{12-4a=4}\end{array}\right.$…（4分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$…（5分）
（II）由（Ⅰ）得：f（x）=x³-2x²+4，f′（x）=3x²-4x．
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$…（8分）

x	-1	（-1，0）	0	（0，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}$，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	增函数	极大值4	减函数	极小值$\frac{76}{27}$	增函数	13

…．（10分）
由表可知，当x∈[-1，3]时，f（x）最大值为f（3）=13．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．