Question

8．已知两个定点A（-2，0），B（1，0），动点P满足|PA|=2|PB|．设动点P的轨迹为曲线C，过点（0，-3）的直线l与曲线C交于不同的两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅲ）若x₁x₂+y₁y₂=3，求|DE|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）由于直线与圆有两个不同的交点，故圆心到直线l的距离应小于圆的半径，即可求直线l斜率的取值范围；
（Ⅲ）若x₁x₂+y₁y₂=3，求出k，即可求|DE|．

解答 解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y）
由|PA|=2|PB|得：$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$
整理得：曲线C的轨迹方程为（x-2）²+y²=4…（4分）
（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3．
由于直线与圆有两个不同的交点，故圆心到直线l的距离应小于圆的半径，即：d=$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，
∴$k＞\frac{5}{12}$…（8分）
（Ⅲ）设直线l的方程为：y=kx-3．
代入（x-2）²+y²=4，整理得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0
∵直线l与圆C相交于不同两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{4+6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁-3）（kx₂-3）=$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$
又∵x₁x₂+y₁y₂=3，
∴$\frac{9}{1+{k}^{2}}$+$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$=3，
整理得：k²+4k-5=0，解得k=1或-5（舍）…（10分）
∴直线l的方程为：y=x-3，
圆心C到l的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|DE|=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．