Question

7．已知函数$f（x）={e^x}（alnx+\frac{2}{x}+b）$，其中a，b∈R．e=2.71828是自然对数的底数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x-1）．求实数a，b的值；
（2）①若a=-2时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值，求实数b的取值范围；
②若a=-2，b≥-2．若f（x）≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围（用b表示）．

Answer 1

分析 （1）求出函数 到底是，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）①求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断出函的极大值和极小值，进而求出b的范围即可；
②问题转化为${e^x}（{alnx+\frac{2}{x}+b}）≥（2+b）ex$对一切正实数x恒成立，只需证明e^x≥ex，再证$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）由题意知曲线y=f（x）过点（1，0），且f'（1）=e；
又因为$f'（x）={e^x}（{alnx-\frac{2}{x^2}+\frac{a+2}{x}+b}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}f（1）=e（2+b）=0\\ f'（1）=e（a+b）=e\end{array}\right.$解得a=3，b=-2…（4分）
（2）①当a=-2时，函数y=f（x）的导函数$f'（x）={e^x}（{-2lnx-\frac{2}{x^2}+b}）=0$，
若f'（x）=0时，得$b=2lnx+\frac{2}{x^2}$，
设$g（x）=2lnx+\frac{2}{x^2}$（x＞0）．
由$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^3}=\frac{{2{x^2}-4}}{x^3}$=0，得$x=\sqrt{2}$，$g（\sqrt{2}）=1+ln2$…（6分）
当$0＜x＜\sqrt{2}$时，g'（x）＜0，函数y=g（x）在区间$（0，\sqrt{2}）$上为减函数，g（x）∈（1+ln2，+∞）；仅当b＞1+ln2时，b=g（x）有两个不同的解，设为x₁，x₂（x₁＜x₂）．

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极大值	↗	极小值	↘

此时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值…（9分）
②由题意${e^x}（{alnx+\frac{2}{x}+b}）≥kx$对一切正实数x恒成立，
取x=1得k≤（2+b）e．
下证${e^x}（{alnx+\frac{2}{x}+b}）≥（2+b）ex$对一切正实数x恒成立…（12分）
首先，证明e^x≥ex．设函数u（x）=e^x-ex，则u'（x）=e^x-e，
当x＞1时，u'（x）＞0；
当x＜1时，u'（x）＜0；得e^x-ex≥u（1）=0，即e^x≥ex，
当且仅当都在x=1处取到等号．
再证$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$．设$v（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，则$v'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，当x＞1时，v'（x）＞0；
当x＜1时，v'（x）＜0；得v（x）≥v（1）=0，即$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$，
当且仅当都在x=1处取到等号…（14分）
由上可得${e^x}（{alnx+\frac{2}{x}+b}）≥（2+b）ex$，所以${（{\frac{f（x）}{x}}）_{min}}=（2+b）e$，
所以k≤（2+b）e…（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．