Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PDC
（2）在线段AB上是否存在一点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$．若存在，求$\frac{AG}{AB}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥AP，AB⊥PD，由此能证明平面PAB⊥平面PDC．
（2）取AD的中点O，连接OP，OF，PO⊥AD，以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，由此利用向量法能求出在线段AB上存在点G（1，$\frac{1}{2}$，0）使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵AD=2，∴$PA=PD=\sqrt{2}$，
∴PA²+PD²=AD²∴PD⊥AP，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵AP∩AP=A，且AP、AB?平面PAB，
∴PD⊥平面PAB，
又PD?平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC…（6分）
解：（2）如图，取AD的中点O，连接OP，OF，
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，∴OF⊥AD，
以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则有A（1，0，0），C（-1，2，0），F（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），…（8分）
若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，连接PG、DG，
设G（1，a，0）（0≤a≤2），
则$\overrightarrow{DP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GD}$=（-2，-a，0），
由（2）知平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
设平面PGD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{GD}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{-2x-ay=0}\end{array}}\right.$，．
令y=-2，得$\overrightarrow{n}$=（a，-2，-a），…（10分） 
∴|cos＜$\overrightarrow n$，$\overrightarrow{PA}$＞|=$\frac{2a}{\sqrt{2}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{1}{3}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，此时$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$，
∴在线段AB上存在点G（1，$\frac{1}{2}$，0）使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．