Question

8．高斯函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[-2.3]=-3，[1.2]=1．设函数g（x）=x-f（x），函数u（x）={sinπx}，则下列说法正确的是（　　）

• A． 函数g（x）与u（x）的值域相同
• B． 函数g（x）与u（x）的最小正周期相同
• C． 函数g（x）与u（x）的单调区间相同
• D． 函数g（x）与u（x）奇偶性相同

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，这个整数必须是小于等于x的最大整数，g（x）=x-f（x），可得0≤g（x）＜1，函数u（x）={sinπx}={1，0，-1}．可得答案．

解答 解：由题意，函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，这个整数必须是小于等于x的最大整数，函数f（x）=x-[x]，则f（-x）=-x-[-x]
例如f（3.5）=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，而f（-3.5）=-3.5-[-3.5]=-3.5+4=0.5=f（3.5），则函数是偶函数；
g（x+1）=x+1-[x+1]=g（x）=x-[x]；∴g（x+1）=g（x）．是周期T=1的函数．∴0≤g（x）＜1，
函数u（x）={sinπx}={1，0，-1}，是奇函数，
综上分析，可得函数g（x）与u（x）的单调区间相同，
故选C．

点评 本题主要考查了对新定义的充分理解和认识，求解函数的值域问题，已知“函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数”的含义是解题的关键