Question

【题目】已知.

（1）当时，求证：在上单调递减；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）求得导数，结合指数函数与余弦函数的性质，求得，即可得到结论.

（2）当时，可得命题成立，当时，设，求得，求得函数的单调性，得到，分类讨论，即可求解.

（1）由题意，函数，可得，

由时，则，

当时，，所以，

所以在上单调递减.

（2）当时，，对于，命题成立，

当时，由（1），

设，则，

因为，所以，在上单调递增，

又， 所以，

所以在上单调递增，且，

①当时，，所以在上单调递增，

因为，所以恒成立；

②当时，，因为在上单调递增，

又当时，，

所以存在，对于，恒成立.

所以在上单调递减，所以当时，，不合题意.

综上，当时，对于，恒成立.