Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n.

(1) 若对任意的n∈N，a_2n－1，a_2n＋1，a_2n组成公差为4的等差数列，且a₁＝1，＝2 013，求n的值；

(2) 若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a为常数，求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q＝1＋.

Answer 1

 (1) 解：因为a_2n－1，a_2n＋1，a_2n组成公差为4的等差数列，

所以a_2n＋1－a_2n－1＝4，a_2n＝a_2n－1＋8(n∈N^*)，

所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，a_2n＋1是公差为4的等差数列，且a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n＝a₁＋a₃＋…＋a_2n－1＋8n.

又因为a₁＝1，所以S_2n＝2(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)＋8n＝＋8n＝4n²＋6n＝2n(2n＋3)，

所以＝2n＋3＝2 013，所以n＝1 005.

(2) 证明：因为＋a＝(a＋1)q^n－1，所以S_n＝(a＋1)q^n－1a_n－aa_n，①

所以S_n＋1＝(a＋1)qⁿa_n＋1－aa_n＋1，②

②－①，得(a＋1)(1－qⁿ)a_n＋1＝[a－(a＋1)q^n－1]a_n.③

(ⅰ) 充分性：因为q＝1＋，所以a≠0，q≠1，a＋1≠aq，代入③式，得

q(1－qⁿ)a_n＋1＝(1－qⁿ)a_n.因为q≠－1，q≠1，

所以，n∈N^*，所以{a_n}为等比数列，

(ⅱ) 必要性：设{a_n}的公比为q₀，则由③得

(a＋1)(1－qⁿ)q₀＝a－(a＋1)q^n－1，

整理得(a＋1)q₀－a＝(a＋1) ，

此式为关于n的恒等式，若q＝1，则左边＝0，右边＝－1，矛盾；

若q≠±1，当且仅当时成立，所以q＝1＋.

由(ⅰ)、(ⅱ)可知，数列{a_n}为等比数列的充要条件为q＝1＋.