Question

设无穷数列{a_n}满足：n∈Ν，a_n<a_n＋1，a_n∈N^．记b_n＝aa_n，c_n＝aa_n＋1(n∈N^*)．

(1) 若b_n＝3n(n∈N^*)，求证：a₁＝2，并求c₁的值；

(2) 若{c_n}是公差为1的等差数列，问{a_n}是否为等差数列，证明你的结论．

Answer 1

解：(1) 因为a_n∈N，所以若a₁＝1，则b₁＝aa₁＝a₁＝3矛盾，

若a₁≥3＝aa₁，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁＝2.于是a₂＝aa₁＝3，从而c₁＝aa₁＋1＝a₃＝aa₂＝6.

(2) {a_n}是公差为1的等差数列，证明如下：a_n＋1>a_nn≥2时，a_n>a_n－1，所以a_n≥a_n－1＋1a_n≥a_m＋(n－m)，(m<n)

aa_n＋1＋1≥aa_n＋1＋a_n＋1＋1－(a_n＋1)，即c_n＋1－c_n≥a_n＋1－a_n，由题设，1≥a_n＋1－a_n，又a_n＋1－a_n≥1，

所以a_n＋1－a_n＝1，即{a_n}是等差数列．