Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2

3

，AC=4，D为PC的中点，PB⊥AD．
（1）证明：BC⊥AB；
（2）求二面角B-AD-C大小的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB中点E，连结DE，AE，由已知条件得PB⊥平面ADE，从而BC⊥PB．由线面垂直得BC⊥PA，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥AB．
（2）以A为原点，在平面ABC内过A且平行行CB有直线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AD-C大小的正切值．

解答： （1）证明：取PB中点E，连结DE，AE，
∵AP=AB，AE⊥PB，又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，
又DE?平面ADE，∴DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．
由BC∥DE，得BC⊥PB．
又PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩PB=P，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AB．
（2）解：以A为原点，在平面ABC内过A且平行行CB有直线为x轴，
以AB为y轴，以AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AP=AB=2

3

，AC=4，D为PC的中点，
∴BC=

42-(2 3 )2

=2，
∴A（0，0，0），B（0，2

3

，0），C（-2，2

3

，0），
P（0，0，2

3

），D（-1，

3

，

3

），

AD

=(-1，

3

，

3

)，

AB

=(0，2

3

，0)，

AC

=(-2，2

3

，0)，
设平面BAD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AD =-x+ 3 y+ 3 z=0 n • AB =2 3 y=0

，
取z=

3

，得

n

=(3，0，

3

)，
设平面ADC的法向量

m

=(a，b，c)，

m • AD =-a+ 3 b+ 3 c=0 m • AC =-2a+2 3 b=0

，
取b=

3

，得

m

=(3，

3

，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

9

12 • 12

=

3

4

，
设二面角B-AD-C的平面角为θ，
则cosθ=

3

4

，tanθ=

7

3

．
∴二面角B-AD-C大小的正切值为

7

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．