Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F₁PF₂的最小值为

1

3

．动圆x²+y²=t²（

2

＜t＜

3

）与椭圆C相交于A、B、C、D四点，则矩形ABCD面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的定义，在△PF₁F₂中利用余弦定理算出cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1||PF2|

-1．利用基本不等式算出|PF₁|•|PF₂|≤a²，结合a＞1得cos∠F₁PF₂≥1-

2

a2

，从而得到a²=3，进而可得椭圆C的方程；设A（x₀，y₀），得矩形ABCD的面积S=4|x₀y₀|．利用椭圆方程化简，可得S满足：S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x₀²-

3

2

）²+24．再利用二次函数的图象与性质加以计算，可得矩形ABCD的最大面积．

解答： 解：∵P是椭圆C上一点，∴|PF₁|+|PF₂|=2a．
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2，由余弦定理得cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1||PF2|

-1．
∵|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时等号成立．
∴由a＞1，可得cos∠F₁PF₂≥

4a2-4

2a2

-1=1-

2

a2

．
∵cos∠F₁PF₂的最小值为

1

3

，∴1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3．
又∵c=1，∴b²=a²-c²=2，可得椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
设A（x₀，y₀），则矩形ABCD的面积S=4|x₀y₀|．
∴S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x₀²-

3

2

）²+24．
∵-

3

＜x₀＜

3

且x₀≠0，∴当x₀²=

3

2

时，S²取得最大值24．
∴矩形ABCD的最大面积为2

6

．
故答案为：2

6

．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并讨论矩形面积的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、二次函数的图象与性质、余弦定理解三角形和基本不等式等知识，属于中档题．