Question

19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C-3cos（A+B）=1．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos²C+3cosC-2=0，解得cosC，结合C范围即可得解C的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤12，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵cos2C-3cos（A+B）=1，
∴得2cos²C+3cosC-2=0，即（2cosC-1）（cosC+2）=0，…（2分）
∴解得$cosC=\frac{1}{2}或cosC=-2（舍去）$，…（4分）
因为$0＜C＜π，所以C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由（1），$C=\frac{π}{3}$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，…（8分）
又∵$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$…（9分）
∴ab=a²+b²-12≥2ab-12，ab≤12（当且仅当$a=b=2\sqrt{3}$时取等号），…（11分）
∴$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤3\sqrt{3}$
∴△ABC的面积S的最大值为$3\sqrt{3}$．    …（12分）

点评 本题主要考查了二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．