Question

4．若实数a，b，c，d满足|b+$\frac{1}{2}$a²-4lna|+|3c-d+2|=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{121}{40}$．

Answer 1

分析 由条件可得b=4lna-$\frac{1}{2}$a²，3c-d+2=0，（a-c）²+（b-d）²的几何意义是（a，b）和（c，d）的距离的平方．显然与直线3x-y+2=0平行的直线与曲线y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²相切时，距离取得最值．设出切点，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求最小值．

解答 解：|b+$\frac{1}{2}$a²-4lna|+|3c-d+2|=0，即有
b=4lna-$\frac{1}{2}$a²，3c-d+2=0，
（a-c）²+（b-d）²的几何意义是（a，b）和（c，d）的距离的平方．
显然与直线3x-y+2=0平行的直线与曲线y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²相切时，
距离取得最值．
设与直线3x-y+2=0平行的直线为3x-y+t=0，
切点为（m，n），由y=4lnx-$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=$\frac{4}{x}$-x，
由$\frac{4}{m}$-m=3，解得m=1（-4舍去），
可得切点为（1，-$\frac{1}{2}$），
即有切点到直线3x-y+2=0的距离为$\frac{|3+\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{11}{2\sqrt{10}}$，
则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{121}{40}$．
故答案为：$\frac{121}{40}$．

点评 本题考查两点的距离公式的运用：求最值，考查导数的运用：求切线的斜率，以及点到直线的距离公式的运用，属于中档题．