Question

已知函数f（x）=e^ax-x-1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：首先对a考虑，说明a＜0不成立，只有a＞0，求出导数，并求出f（x）的单调区间，从而求得最小值，令它不小于0，然后构造函数g（t）=t-tlnt-1，运用导数求出它的最大值，运用两边夹法则即可求出a的值．

解答： 解：若a＜0，则对一切x＞0，∵e^ax＜1，∴f（x）=e^ax-x-1＜0，这与题设矛盾．
又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0得x=

1

a

ln

1

a

，
当x＜

1

a

ln

1

a

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞

1

a

ln

1

a

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=

1

a

ln

1

a

，f（x）取最小值f（

1

a

ln

1

a

）=

1

a

-

1

a

ln

1

a

-1．
于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当

1

a

-

1

a

ln

1

a

-1≥0．①
令g（t）=t-tlnt-1，（t=

1

a

）则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴当且仅当

1

a

=1，即a=1时，①式等号成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
故答案为：{1}．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查导数在函数中的运用，同时考查构造函数解题的思想，属于中档题．