Question

16．已知$α，β均为锐角，α＞β，且cos（α+β）=-\frac{4}{5}，sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
求cos2β的值．

Answer 1

分析 由已知可求范围0°＜α+β＜180°，0°＜α-β＜90°，根据同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），cos（α-β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵$α，β均为锐角，α＞β，且cos（α+β）=-\frac{4}{5}，sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
∴0°＜α+β＜180°，0°＜α-β＜90°，
∴可得：sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．