Question

1．定义在R上的函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当1≤s≤4时，$\frac{t}{s}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，2]
• B． $[-1，\frac{1}{2}]$
• C． [-2，1]
• D． $[-\frac{1}{2}，1]$

Answer 1

分析 利用题意首先确定函数f（x）的单调性和奇偶性，据此脱去f符号，然后结合线性规划相关知识即可求得目标函数的取值范围．

解答 解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；
∴由f（s²-2s）≤-f（2t-t²）得：
s²-2s≥t²-2t；
∴（s-t）（s+t-2）≥0；
以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域，如图所示：

即△ABC及其内部，其中 A（1，1），B（4，-2），C（4，4），
目标函数 $z=\frac{t}{s}=\frac{t-0}{s-0}$表示坐标原点与平面区域内的点连线的斜率，
据此可得目标函数在点B处取得最小值 $\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$，
在点A（C）处取得最大值1，
综上可得$\frac{t}{s}$ 的取值范围是$[-\frac{1}{2}，1]$．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的奇偶性，线性规划及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．