Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-2）x+1，x≤1}\\{{a}^{x}，x＞1}\end{array}\right.$，若f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为$[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$．

Answer 1

分析 利用题意，首先考查函数在所给的两段上面都单调递减，然后考查函数在x=1处的函数值关系，据此即可求得最终结果．

解答 解：对于分段函数：
一次函数单调递减，则：3a-2＜0，∴$a＜\frac{2}{3}$，①
指数函数单调递减，则：0＜a＜1，②
且当x=1时，应满足：（3a-2）×1+1≥a¹，∴$a≥\frac{1}{2}$，③
结合①②③可得，实数a的取值范围是$[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$．

点评 本题考查了一次函数的单调性，指数函数的单调性，分段函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．