Question

13．已知函数f（x）=|x-a|-2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x-3|＞0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x-3|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．
（Ⅱ）设f（x）=|x-a|-|x-3|≤|a-3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．

解答 （本大题满分10分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-a|-2．若a=1，
不等式f（x）+|2x-3|＞0，化为：|x-1|+|2x-3|＞2．
当x≥$\frac{3}{2}$时，3x＞6．解得x＞2，
当x∈（1，$\frac{3}{2}$）时，可得-x+2＞2，不等式无解；
当x≤1时，不等式化为：4-3x＞2，解得x$＜\frac{2}{3}$．
不等式的解集为：$（-∞，\frac{2}{3}）∪（2，+∞）$…5
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x-3|恒成立，可得|x-a|-2＜|x-3|
设f（x）=|x-a|-|x-3|，
因为|x-a|-|x-3|≤|a-3|，
所以，f（x）_max=|a-3|
即：|a-3|＜2
所以，a的取值范围为（1，5）…10

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．