Question

1．已知函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}（{a＞0}）$是奇函数，则函数$g（x）={log_{\frac{1}{a}}}（{{x^2}-6x+5}）$的单调递减区间是（5，+∞）．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，从而f（-x）=-f（x），这样即可求出a=2，从而$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，进而可判断g（x）是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$复合而成的复合函数，并且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$为减函数，这样根据二次函数单调性及复合函数单调性即可求出g（x）的单调递减区间．

解答 解：f（x）是奇函数；
∴f（-x）=-f（x），即$lg\frac{1-ax}{1+2x}=-lg\frac{1+ax}{1-2x}$；
∴$lg\frac{1-ax}{1+2x}=lg\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴$\frac{1-ax}{1+2x}=\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴1-a²x²=1-4x²；
∴a²=4，且a＞0；
∴a=2；
∴$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-6x+5）$，该函数是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$复合成的复合函数；
且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$为减函数，t＞0；
∴g（x）的单调递减区间为（5，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，对数的运算，多项式相等的充要条件，以及复合函数的定义，复合函数单调区间的求法，对数函数和二次函数的单调性．