Question

10．直线x+y=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1  （a＞0，b＞0）交于M、N两点，若以M、N两点为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}$的值；
（2）若0＜a≤$\frac{1}{2}$，求双曲线离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立方程，利用韦达定理，结合x₁x₂+y₁y₂=0，即可求$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}$的值；
（2）若0＜a≤$\frac{1}{2}$，求双曲线离心率e的取值范围．

解答 解：（1）由 $\left\{{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$得：（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0（b²≠a²），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{{a^2}+{a^2}{b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}$，
由题意得：x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁ x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂=1+$\frac{{2{a^2}}}{{{b^2}-{a^2}}}$-$\frac{{2（{a^2}+{a^2}{b^2}）}}{{{b^2}-{a^2}}}$=0，
∴b²-a²-2a²b²=0，∴$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=2，
（2）∵0＜a≤$\frac{1}{2}$即0＜2a≤1，$\frac{1}{2}$≤1-2a²＜，1＜$\frac{1}{{1-2{a^2}}}$≤2，
又∵b²=$\frac{a^2}{{1-2{a^2}}}$，e²=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a^2}$=1+$\frac{1}{{1-2{a^2}}}$，∴e∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．