Question

20．某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为$\frac{K}{0.6-0.4}$元/kW•h）
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；
（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？

Answer 1

分析 （1）设下调后的电价为x元/kW•h，依题意知用电量增至$\frac{K}{x-0.4}+a$，求出电力部门的收益与实际电价x的函数关系．
（2）K=0.2a，代入函数关系式，列出不等式组求解即可．

解答 解：（1）设下调后的电价为x元/kW•h，依题意知用电量增至$\frac{K}{x-0.4}+a$，
电力部门的收益为y=（$\frac{K}{x-0.4}+a$）（x-0.3），x∈[0.55，0.75]．…6分
（2）依题意有$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{0.2a}{x-0.4}+a）（x-0.3）≥[a×（0.8-0.3）]（1+20%）}\\{0.55≤x≤0.75}\end{array}\right.$
整理得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1.1x+0.3≥0}\\{0.55≤x≤0.75}\end{array}\right.$，解此不等式得0.60≤x≤0.75
答：当电价最低为0.60时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%…14分．

点评 本题考查函数问题的实际应用，不等式组的解法，考查转化思想以及计算能力．